ทำไมต้องโลปิตาล ทำไมต้องรูปแบบไม่กำหนด ทำไมต้องงง

วัชรินทร์ วิชิรมาลา

 

ในการเรียนเรื่องรูปแบบไม่กำหนดและกฎของโลปิตาลนั้น  บางคนอาจจะคิดสงสัยไปว่าทำไมรูปแบบไม่กำหนดมันมีเท่าที่ให้เรียน   แต่ที่แน่ ๆ หลายคนคงอยากให้มันมีน้อย ๆ รูปแบบ จะได้ไม่ทรมานตอนสอบ

 

การแปลว่ารูปแบบไม่กำหนดนั้นไม่สื่อความหมายแต่ดูเป็นทางการ เท่ และไพเราะ  หากเราจะแปลตรง ๆ แล้ว inderminate form ควรแปลว่ารูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้  คือตัดสินใจไม่ได้ว่าค่าลิมิตมันจะออกมาเป็นอะไร  ซึ่งฟังดูไม่เป็นทางการ ไม่เท่ และไม่ไพเราะเอาซะเลย  ใครเขาจะเรียกอย่างนี้

 

อีกสิ่งหนึ่งที่น่าประหลาดใจคือชื่อโลปิตาลมันมาจาก L’Hospital  เห็นแล้วก็ดูน่าขำ  สงสัยเล่น ๆ ไปว่าเขาคงจะคิดทฤษฎีนี้ได้ตอนอยู่โรงพยาบาล

 

ทฤษฎีมีอยู่ว่า ในการหาลิมิต limx->[]f(x)/g(x) นั้น เรามีทางเลือกที่จะไปดูลิมิต limx->[](x)/(x) แทน  หากลิมิต limx->[]f(x) และ limx->[]g(x) มีค่าเป็นศูนย์หรือทั้งสองมีค่า ±¥

 

ที่เราใช้ x->[] นั้นให้ความหมายกว้างขวางมาก  คือเติมอะไรในกล่องก็ได้ เช่น จำนวนจริง  ¥  หรือลิมิตทางซ้าย

 

ในการเรียนวิชาแคลคูลัสของเด็กปริญญาตรีก็ต้องมาเจอรูปแบบไม่กำหนดเพิ่มเติมอีกตั้ง 5 อัน   ในบทความนี้เราจะมาดูที่มากันว่าทำไมถึงได้ตัดสินใจไม่ได้   ก่อนอื่นต้องบอกก่อนว่าของที่ตัดสินใจไม่ได้คือของที่ไม่ใช่ของที่ตัดสินใจได้   เราจึงจะมาดูก่อนว่าอะไรบ้างที่ตัดสินใจได้   อะไรที่ตัดสินใจได้ด้วยทฤษฎีเด็ก ๆ เราจะใช้สีเทา

 

สมมุติ lim f(x) = a และ lim g(x) = b   ตารางต่อไปนี้จะบอกว่า lim (f(x)+g(x))  lim (f(x) ×g(x))  lim (f(x)/g(x)) และ lim f(x)g(x) มีค่าเป็นอะไรโดยแยกตามค่าของ a และ b   ในกรณีที่ตัดสินใจไม่ได้จะใช้เครื่องหมาย ?

lim(f+g)

-¥

bÎR

¥

-¥

-¥

-¥

?

aÎR

-¥

a+b

¥

¥

?

¥

¥

ซึ่งจะพบว่ามี 2 รูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งมีชื่อเป็นทางการว่า ¥-¥

 

lim(f×g)

-¥

b<0

0

b>0

¥

-¥

¥

¥

?

-¥

-¥

a<0

¥

a×b

0

a×b

-¥

0

?

0

0

0

?

a>0

-¥

a×b

0

a×b

¥

¥

-¥

-¥

?

¥

¥

ซึ่งจะพบว่ามี 4 รูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งมีชื่อเป็นทางการว่า 0×¥

 

lim f/g

-¥

b<0

0

b>0

¥

-¥

?

¥

*

-¥

?

a<0

0

a/b

*

a/b

0

0

0

0

?

0

0

a>0

0

a/b

*

a/b

0

¥

?

-¥

*

¥

?

ซึ่งจะพบว่ามี 5 รูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งมีชื่อเป็นทางการว่า 0/0 และ ¥/¥  โดยที่ * หมายถึง lim |f/g| = ¥ โดยที่ lim f/g อาจมีค่าเป็น ¥ หรือ -¥ หรือไม่มีค่า

 

การพิจารณา lim f(x)g(x) นั้นจะต้องรู้พื้นฐานที่จำเป็นก่อนว่าการยกกำลังที่ไม่มีปัญหาต้องใช้ฐานเป็นบวก และผลการยกกำลังก็จะเป็นบวกด้วย  กล่าวคือ f(x) > 0  และสำหรับ x>0 และ y ใด ๆ จะได้ xy>0  รวมทั้ง xy=1/(x-y)=(1/x)-y

lim fg

-¥

b<0

0

0<b<1

1

b>1

¥

0

¥

¥

?

0

0

0

0

0<a<1

¥

ab

1

ab

a

ab

0

1

?

1

1

1

1

1

?

a>1

0

ab

1

ab

a

ab

¥

¥

0

0

?

¥

¥

¥

¥

ซึ่งจะพบว่ามี 4 รูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งมีชื่อเป็นทางการว่า 00  1¥  และ ¥0

 

ก็เป็นว่ารูปแบบที่ตัดสินใจไม่ได้แบบยากมี 5 รูปแบบคือ ¥-¥  0×¥  00  1¥  และ ¥0  ซึ่งเราก็ต้องใช้ความช่วยเหลือจากรูปแบบมาตรฐาน 0/0 หรือ ¥/¥

 

ก็เป็นอันรู้ที่มาแล้วนะครับว่าอะไรตัดสินใจได้อะไรตัดสินใจไม่ได้   ก็จำไว้นะครับว่าหากคิดอะไรไม่ออกบอกไม่ถูก ให้นึกถึงโลปิตาล   ส่วนจะช่วยให้คิดออกบอกถูกหรือเปล่านั้นไม่ขอรับประกัน

 

 

สิงหาคม 2550